對偶基

對偶基是附著於所選基的一組精心調校的『座標讀取器』：每一個都輸出向量沿恰好一個基方向的座標，而忽略其餘所有方向。若你的基為各方向命名，對偶基便交給你寫在每個方向旁的那些數。

設 V 在 K 上有限維、帶基 e_1, ..., e_n。V* 的對偶基 e_1*, ..., e_n* 由克羅內克條件 e_i*(e_j) = δ_ij 定義，當 i = j 時為 1、否則為 0。這 n 個泛函線性無關且張成 V*，故確為一組基；對任意向量 v = Σ c_i e_i 有 e_i*(v) = c_i，即第 i 個座標。

對偶基給出具體的同構 V ≅ V*（依賴於基、並非典範），並支撐張量分析中的指標記法：把張量寫成座標，就是將其按基向量 e_i 與對偶基餘向量 e_j* 的張量積展開。改變 V 的基會使對偶基按逆轉置矩陣改變——這正是為何說向量逆變、餘向量協變。