張量

張量是一個把若干向量與測量之間的多重線性關係打包起來的單一對象——它作為推廣，把純量、向量、餘向量與矩陣都囊括為低階特例。直觀上它是一個多維陣列，在基的變換下以受控的方式變換，但現代觀點拋棄陣列、保留那個內在對象。

確切地說，向量空間 V 上 (p, q) 型張量是張量積 V^{⊗p} ⊗ (V*)^{⊗q} 中的元素；p 是逆變秩（V-因子數、上指標數），q 是協變秩（V*-因子數、下指標數）。等價地，由萬有性質，這樣的張量是一個把 q 個向量與 p 個餘向量送到純量的多重線性映射。(0, 0) 型張量是純量，(1, 0) 型是向量，(0, 1) 型是餘向量，(1, 1) 型是線性映射，(0, 2) 型是雙線性形式。

張量上的運算包括張量積（升總秩）、縮併（把一個 V-口與一個 V*-口配對而降秩），以及——當 V 帶有非退化雙線性形式時——升降指標。在座標下，(p, q) 型張量由一個多指標陣列記錄，含 n^{p+q} 個分量，但該陣列的含義依賴於基；張量本身則不依賴。