張量積
張量積是讓雙線性行為變為普通線性行為的正式歸宿。面對牴觸線性代數方法的雙線性映射 B: M × N -> P，我們構造單一的新模 M ⊗ N，連同一個萬有雙線性映射 M × N -> M ⊗ N，(m, n) ↦ m ⊗ n，使得 B 恰可由唯一的線性映射 M ⊗ N -> P 還原。實際上我們把兩個耦合的口換成了一個空間，在其中它們已被相乘到一起。
在交換環 R 上如下構造 M ⊗_R N：取以一切符號 (m, n) 為基的自由 R-模，再對強制雙線性的關係作商——(m + m', n) − (m, n) − (m', n)、(m, n + n') − (m, n) − (m, n')，以及 (r·m, n) − r·(m, n)、(m, r·n) − r·(m, n)。(m, n) 的像記作 m ⊗ n。元素是這種純張量的有限和；並非每個元素本身都是純張量。
張量積具有函子性並滿足乾淨的法則：M ⊗ N ≅ N ⊗ M，R ⊗ M ≅ M，對直和的分配律 (M ⊕ M') ⊗ N ≅ (M ⊗ N) ⊕ (M' ⊗ N)，且對向量空間維數相乘，dim(V ⊗ W) = dim V · dim W。一個誠實的細微之處：張量化是右正合但一般並非左正合——其正合性的失效由函子 Tor 度量，而使張量化保持正合的模恰是平坦模。
Z/2Z ⊗_Z Z/3Z = 0，因為在 m ⊗ n 中可寫 m ⊗ n = 3·(m ⊗ n) − 2·(m ⊗ n) = m ⊗ 3n − 2m ⊗ n = 0 − 0 = 0（用到 3n = 0 與 2m = 0）。更一般地，Z/mZ ⊗ Z/nZ ≅ Z/gcd(m, n)Z。
互質循環群張量化後湮滅——這生動地表明 ⊗ 並非只是乘積。
在非交換環 R 上，是把右 R-模與左 R-模張量化，M ⊗_R N，除非有額外結構（雙模），結果僅是阿貝爾群。上文乾淨的交換理論是最常先遇到的情形。