張量積的萬有性質

萬有性質不靠對象如何被構造、而靠它最擅長做什麼來刻畫它：張量積是把雙線性映射轉化為線性映射的最高效裝置，一旦你知道這份職能說明，其內部構造便無關緊要。任意兩個滿足該說明的對象都典範同構，故張量積在唯一同構意義下被確定。

陳述：存在一個雙線性映射 ι: M × N -> M ⊗ N，ι(m, n) = m ⊗ n，具有如下性質：對每個 R-模 P 和每個雙線性映射 B: M × N -> P，都存在唯一的 R-線性映射 B': M ⊗ N -> P 使得 B = B' ∘ ι。換言之，每個雙線性映射都唯一地分解為一個線性映射與萬有映射的複合。這使 ⊗ 成為表示雙線性映射之函子的載體：Bilin(M × N, P) ≅ Hom_R(M ⊗ N, P)。

實用要旨是：你只需在純張量上按一條雙線性規則給出從 M ⊗ N 出發的映射並僅驗證雙線性——萬有性質便保證存在良定義的線性延拓。楔積、對稱化與縮併映射正是藉此被乾淨地定義，也正因如此，關於張量積的證明幾乎從不觸及自由模取商的構造。