雙線性映射
設想一台有兩個輸入口的機器，把兩種原料合成一個輸出。雙線性映射就是這樣一台機器：固定一個口、撥動另一個口時，輸出沿直線（線性）變化；交換固定哪個口，規律相同。它對每個變數分別都是線性的，但兩者合起來可以呈現非線性：把兩個輸入同時翻倍，輸出通常變為四倍而非兩倍。
確切地說，設 M、N、P 是交換環 R 上的模（若 R 是體則為向量空間）。若映射 B: M × N -> P 對一切 m、m' 屬於 M，n、n' 屬於 N，r 屬於 R 都滿足 B(m + m', n) = B(m, n) + B(m', n)、B(m, n + n') = B(m, n) + B(m, n')，以及 B(r·m, n) = r·B(m, n) = B(m, r·n)，則稱 B 為雙線性映射。等價地，固定任一座標都得到另一座標上的 R-線性映射。
雙線性映射是整個學科組織起來的核心對象。它並不是乘積 M × N 上的線性映射（該乘積沒有能正確混合兩個口的純量運算），因此牴觸通常的線性代數工具。補救之道是構造一個新空間——張量積——使每個雙線性映射都經它分解為一個普通的線性映射，這正是下文構造的全部用意。
R^n 上的內積 B(u, v) = u·v 是雙線性的：B(2u, v) = 2 B(u, v)，B(u, v + w) = B(u, v) + B(u, w)。R^3 上的外積、以及由 B(a, b) = ab 給出的普通乘法 R × R -> R 同樣如此。
內積、外積與普通乘法是雙線性映射的典型樣例。
注意：雙線性映射作為乘積上的函數一般並不可加，因為 B((m, n) + (m', n')) = B(m + m', n + n') 按雙線性展開成四項而非兩項。正是這種可加性的失效，才使得需要張量積而非直和。