多重線性映射

把雙線性映射的想法再增加幾個輸入口。多重線性映射是一台有 k 個口的機器：固定其餘各口時，它對每一個口都呈線性。調整任一單獨的變數都按完全成比例的方式縮放或相加，儘管各口合起來以豐富的非線性方式相互作用。

形式地說，給定 R-模 M_1、…、M_k 與 P，若映射 f: M_1 × ... × M_k -> P 對每個下標 i，固定除第 i 個外的所有座標都得到一個 R-線性映射 M_i -> P，則稱 f 為 k-重線性映射。k = 1 時它就是線性映射，k = 2 時是雙線性映射；術語 k-線性很常用。當所有 M_i 都等於固定的模 M 且 P = R 時，稱之為 k 次多重線性形式。

多重線性是行列式、體積與張量分析的天然舞台：n × n 矩陣的行列式是其各行向量上唯一的、把單位矩陣送到 1 的交錯 n-線性形式。正如雙線性映射被 M ⊗ N 線性化，每個從 M_1 × ... × M_k 出發的 k-重線性映射都唯一地經由 k 重張量積 M_1 ⊗ ... ⊗ M_k 上的一個線性映射分解。