交錯形式

交錯形式是一種多重線性的度量：只要它的兩個輸入相同，就自動返回零——好比一台體積計，對任何被壓扁、退化的盒子都讀出零。這條單一的『遇重複即坍縮為零』要求，編碼了行列式與有向體積的全部符號與定向行為。

設 V 是 R 上的模。若 k-重線性形式 f: V × ... × V -> R 滿足：當存在 i ≠ j 使 v_i = v_j 時 f(v_1, ..., v_k) = 0，則稱 f 為交錯的。由多重線性可推出反對稱性：交換任意兩個變數使取值乘以 −1，更一般地按 σ 置換各變數使取值乘以符號 sgn(σ)。在 2 可逆的體上，遇重複即為零與反對稱性兩條件等價；在特徵 2 中，遇重複為零的條件才是正確的、更強的那條。

V 上的交錯 k-形式恰是 Λ^k(V) 上的線性泛函：它們的空間是 Λ^k(V)*，當 dim V = n 時維數為 C(n, k)。n 維空間上唯一的（至多差一純量）交錯 n-形式，規範化為把固定基送到 1，就是行列式。交錯形式是幾何中微分形式在線性代數裡的影子。