楔積

楔積是一種記住定向、拒絕重複的乘法。把兩個向量做楔積，得到它們張成的有向平行四邊形；交換順序會翻轉定向與符號，而一個向量與自身楔積為零，因為退化的平行四邊形沒有面積。它正是驅動外代數與有向體積計算的乘積。

形式地說，∧ 是外代數 Λ(V) 的乘法，由張量代數中的拼接在施加 v ∧ v = 0 後繼承而來。定義性的恆等式有：對每個口的雙線性、反對稱性 v ∧ w = −w ∧ v，以及更一般的分次交換律：若 α 次數為 p、β 次數為 q，則 α ∧ β = (−1)^{pq} β ∧ α。一個 p-形式與一個 q-形式的楔積落在 p + q 次。

楔積 v_1 ∧ ... ∧ v_k 為零當且僅當 v_1、…、v_k 線性相關，故非零的可分解楔積對應於帶定向與尺度的 k 維子空間——這正是普呂克座標與格拉斯曼流形所利用的幾何內涵。楔積也是微分形式演算的基石，並是行列式背後的運算。