多重線性代數與張量代數
外代數
外代數是當你規定『一個向量乘自身為零』時所得之物——這條規則刻畫了有向面積與體積的幾何。把重複方向壓成零，會迫使兩個因子交換時變號，於是乘積變得反對稱。它是行列式、微分形式以及有向 k 維體積概念背後的代數引擎。
給定 R-模 V，外代數 Λ(V) 是張量代數 T(V) 對由一切 v ⊗ v（v 屬於 V）生成的雙邊理想所作的商。誘導出的乘積用楔號 ∧ 表示，關係 v ∧ v = 0 迫使 v ∧ w = −w ∧ v。作為分次代數 Λ(V) = ⊕_{k≥0} Λ^k(V)，其中 Λ^k(V) 由楔積 v_1 ∧ ... ∧ v_k 張成；這樣的楔積為零當且僅當這些向量線性相關。
若 V 的維數為 n，則 dim Λ^k(V) = C(n, k)（二項式係數），該代數有限維、總維數為 2^n，且當 k > n 時 Λ^k(V) = 0。頂層 Λ^n(V) 是一維的，線性映射在其上的作用就是乘以行列式。Λ^k(V) 的元素恰是交錯 k-張量，是反對稱多重線性形式的歸宿。
對帶基 e_1, e_2, e_3 的 V = R^3：Λ^0 = R，Λ^1 = V（維 3），Λ^2 由 e_1∧e_2、e_1∧e_3、e_2∧e_3 張成（維 3），Λ^3 由 e_1∧e_2∧e_3 張成（維 1）；總和 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2^3。
維數 1, 3, 3, 1 是帕斯卡三角的第 3 列，和為 2^3。
在特徵 2 中，必須用由 v ⊗ v 生成的理想、而非由 v ⊗ w + w ⊗ v 生成的理想來定義 Λ(V)：當 2 不可逆時，關係 v ∧ v = 0 嚴格強於反對稱性，只有前者給出正確的外代數。
又稱
另見