多重線性代數與張量代數
分次代數
分次代數是按『次數』分層歸類的代數，其構造使乘法在記帳意義上尊重各層——把一個 p 次的東西乘以一個 q 次的東西，你總落在 p + q 次。按總次數分次的多項式是日常的例子：二次乘三次總是五次。
形式地說，R 上的 N-分次代數 A 是帶直和分解 A = ⊕_{d≥0} A_d 的 R-代數，各 A_d 為 R-子模（d 次齊次分量），滿足 1 ∈ A_0 且對一切 p, q 有 A_p · A_q ⊆ A_{p+q}。單個 A_d 中的元素稱為 d 次齊次元。可以按 Z、按阿貝爾群、或——對超代數——按 Z/2Z 分次；在每種情形中，乘法下次數的可加性都是定義性公理。
分次是本學科核心構造背後的組織原則：張量代數 T(V)、外代數 Λ(V) 與對稱代數 S(V) 都按張量次數分次，多項式環 R[x_1, ..., x_n] 按總次數分次。分次還驅動希爾伯特級數、射影幾何（齊次座標環），以及分次交換代數的符號律——對次數為 p、q 的齊次元 a、b 有 ab = (−1)^{pq} ba。
R[x, y] 按總次數分次：A_0 = R（常數），A_1 = span{x, y}，A_2 = span{x^2, xy, y^2}，dim A_d = d + 1。一個 1 次元與一個 2 次元之積 x·y^2 落在 3 次，正如分次所要求。
多項式環是典型的分次代數；次數在乘法下相加。
分次理想（齊次理想）是由齊次元生成的理想；對這種理想取商會繼承分次，這正是為何 Λ(V) 與 S(V)——T(V) 對齊次理想的商——本身是分次的。對非齊次理想取商一般會破壞分次。
另見