多重線性代數與張量代數
對稱代數
對稱代數是讓各因子可交換之後的張量代數——它把抽象向量變成普通的可交換變數。一旦順序不再要緊，向量的乘積就完全像單項式那樣表現，整個結構成為建立在向量空間上的無座標多項式環。它是該空間上的自由交換代數。
給定 R-模 V，對稱代數 S(V) 是張量代數 T(V) 對由一切 v ⊗ w − w ⊗ v 生成的雙邊理想所作的商。誘導出的乘積可交換，且 S(V) = ⊕_{k≥0} S^k(V) 是分次的，S^k(V) 為對稱 k-張量——Λ^k(V) 的對稱類比。它滿足萬有性質：任何到交換 R-代數 A 的 R-線性映射 V -> A 都唯一地延拓為代數同態 S(V) -> A。
若 V 自由、秩為 n、帶基 x_1, ..., x_n，則 S(V) ≅ R[x_1, ..., x_n]，n 元多項式環，且 dim S^k(V) = C(n + k − 1, k) 計數 k 次單項式。於是對稱代數是多項式的內在、無基化身，其各分次塊容納對稱多重線性形式。
對 dim V = 2、帶基 x, y：S^2(V) 以 x^2, xy, y^2 為基（維 3 = C(3, 2)），且 S(V) ≅ R[x, y]。對比 Λ^2(V) 僅一維，由 x ∧ y 張成。
對稱平方由單項式張成；外平方由單一楔積張成。
在特徵 0 的體上有乾淨的分裂 V ⊗ V ≅ S^2(V) ⊕ Λ^2(V)，其中 dim S^2 = n(n+1)/2、dim Λ^2 = n(n−1)/2，相加為 n^2。在特徵 2 中此分解失效，對稱張量與交錯張量不再乾淨地分裂。
另見