張量代數

張量代數是你能從一個向量空間造出的最寬鬆的代數：它讓你自由地相乘向量，除了作為結合代數所被迫滿足的關係外，不施加任何關係。把向量想成字母、乘積想成拼接——一個『詞』就是一串向量，再把詞的形式組合相加。什麼都不交換、什麼都不坍縮；它是該空間上的自由結合代數。

給定 R-模 V，令 T^0(V) = R，T^1(V) = V，T^k(V) = V ⊗ ... ⊗ V（k 個因子）。張量代數是直和 T(V) = ⊕_{k≥0} T^k(V)，乘法由張量的拼接給出，(v_1 ⊗ ... ⊗ v_p)·(w_1 ⊗ ... ⊗ w_q) = v_1 ⊗ ... ⊗ v_p ⊗ w_1 ⊗ ... ⊗ w_q。這使 T(V) 成為以 T^0 中的 1 為單位元的分次結合 R-代數。

它的定義特徵是一條萬有性質：任何到結合 R-代數 A 的 R-線性映射 V -> A 都唯一地延拓為代數同態 T(V) -> A。於是在代數範疇中 T(V) 在 V 上是自由的。外代數與對稱代數都是 T(V) 的商——分別對由 v ⊗ v 生成的理想、以及由 v ⊗ w − w ⊗ v 生成的理想作商——故張量代數是雕琢出其餘者的共同母體。