自由代數

自由代數是你能在給定生成元集上構造的最一般的代數：它除該類公理所強加者之外不加任何關係，故其元素是「你可能寫下的一切」，並且沒有任何東西偶然相等。正因它不多假設，它便映滿每個同類型的代數——指定生成元該去往何處，其餘映射便被唯一逼定。

嚴格地說，固定一個簇 V 與一組生成元 X。V 中 X 上的自由代數 F_V(X) 帶有一個嵌入映射 X -> F_V(X)，滿足如下泛性質：對 V 中每個代數 A 及每個函數 g: X -> A，存在唯一同態 h: F_V(X) -> A 延拓 g。具體地，F_V(X) 是 X 上的項代數模去如下同餘——它恰好在 V 的恆等式逼使兩項相等時把它們等同；當 V 為全體 Σ-代數（無恆等式）時該同餘平凡，自由代數即項代數本身。

自由代數是泛代數的引擎：V 中每個代數都是某自由代數的商，V 的恆等式恰是在各自由代數中相等的項對，而可數無窮 X 上的 F_V(X) 決定整個 V。熟悉的例子比比皆是——集上的自由群、自由么半群（拼接下的字）、自由交換環 Z[x_1, x_2, ...]（多項式環）、自由布林代數、自由向量空間（以 X 為基）。