項代數

項代數是純語法的代數：它的元素是你能在給定語言中寫出的形式表達式，尚未施加任何等式，而運算不過是用較小表達式拼出較大表達式的動作。可把它想成一切未化簡公式之集，如「(x · y) · z」與「x · (y · z)」，作為字串嚴格區分，縱然它們日後會被結合律逼使相等。

嚴格地說，固定簽名 Σ 與一組變元 X。X 上 Σ-項之集遞迴地定義：X 中每個變元與 Σ 的每個常量都是項；若 f 元數為 n 且 t_1, ..., t_n 為項，則 f(t_1, ..., t_n) 為項。項代數 T_Σ(X) 以這組項為載體，每個符號 f 以逐字成項來作用。它是全體 Σ-代數之簇（無恆等式者）中的自由代數，故有時稱作絕對自由的。

項代數提供了雕琢出每個其他代數的原料。從 X 到 Σ-代數 A 的任意函數都唯一延拓為同態 T_Σ(X) -> A——這正是公式在 A 中的「求值」。把 T_Σ(X) 模去由一組恆等式 E 生成的同餘，便得到簇 Mod(E) 的自由代數；於是項代數加同餘重構出全部自由代數，而恆等式本身化為項的相等。