恆等式（泛代數）

恆等式是一條無論代入什麼都成立的律。「x + y = y + x」不是要為特定值去解的方程；它是對每一對元素同時作出的承諾。泛代數把這種恆真等式當作基本貨幣，因為大量代數內容——交換律、結合律、分配律、冪等律——無非就是這類被全稱量化的等式所刻畫。

嚴格地說，給定簽名 Σ，一個恆等式是一對 Σ-項，記作 s ≈ t（或 s = t），理解為全稱量化語句「對所有變元，s = t」。稱代數 A 滿足該恆等式，記作 A ⊨ s ≈ t，若把載體元素任意指派給變元，都使兩側的項求值為同一元素。注意兩側僅由運算符號與變元構造；恆等式內部沒有量詞、沒有關係、沒有否定。

正是這種狹窄形式賦予等式邏輯以威力。伯克霍夫完備性定理說：由一組 E 經自反、對稱、傳遞、代入與替換所導出的恆等式，恰好就是在 E 的每個模型中為真者——一個乾淨而完備的證明演算。其反面是表達力的薄弱：「x ≠ y」或「x 有逆」都不是恆等式，許多自然條件（是體、可消去）也無法以等式寫出。