簇（泛代數）

簇是一種代數門類，它不是由單個例子、而是由其中一切都須遵守的一列律所定義。「所有群」是一個簇；「所有交換環」是一個簇；「所有格」是一個簇。統一的思想是：是否屬於該類純由滿足等式決定，於是這個類以良好的方式封閉，並帶有豐富而統一的理論。

嚴格地說，固定簽名 Σ 與一組 Σ 上的恆等式 E。簇 V = Mod(E) 是滿足 E 中每條恆等式的全體 Σ-代數所成的類。這種類稱為等式類，而一個類恰當其等於某 E 的 Mod(E) 時才是簇。在一個簇內，任意生成元集上的自由代數總是存在，且每個代數都是某自由代數的商，因此簇完全由其自由物件所決定。

當心這個不幸的名稱衝突：此處的「簇」是泛代數概念（等式類），與代數幾何中的代數簇（多項式的零點集）截然不同。兩者僅共用一個詞。關於我們意義下的簇的深刻結構性事實是伯克霍夫的 HSP 定理，它用對同態像、子代數與積的封閉性來刻畫簇。