商代數

作商意味著有意地模糊區別：你決定某些元素應算作「相同」，把它們黏成一個點，再問運算在黏合後的集合上是否仍說得通。當黏合是按一個同餘進行時，它們確實說得通——所得的商代數，是同類型的一個真正更小的代數，往往在去除雜音後顯露出本質結構。

嚴格地說，設 θ 為 Σ-代數 A 上的同餘。商代數 A/θ 以同餘類集 {[a] : a 屬於 A} 為載體，對每個元數為 n 的運算 f，定義 f^{A/θ}([a_1], ..., [a_n]) = [f^A(a_1, ..., a_n)]。θ 的相容性恰好保證此定義與所選代表無關，故運算良定、A/θ 仍是一個 Σ-代數。映射 a -> [a] 是滿同態 A -> A/θ，稱為典範映射或商映射。

商代數是同態定理在泛代數中的來源：A 的每個同態像都同構於某商 A/θ，其中 θ = ker(h) 是核同餘 {(a, b) : h(a) = h(b)}。這一幅圖像特殊化為群的 G/N、環的 R/I 與模的 M/N。伯克霍夫定理記錄道：對商（H，同態像）的封閉性是定義簇的三種封閉之一。