商模

商模是這樣得到的：你決定把整個子模當作零來看待，再問還剩下什麼。任何相差一個子模中元素的兩個元素都被黏在一起；剩下的等同關係構成一個新的、通常更小的模。它是從 Z 造出 Z/nZ、商群或商環的模版本。

具體地說，設 N 是 R-模 M 的子模。陪集 m + N 把 M 分成若干塊，它們繼承運算 (m + N) + (m' + N) = (m + m') + N 與 r(m + N) = rm + N。這些之所以良定，恰恰因為 N 對加法與純量乘法封閉，所得的 R-模記作 M/N。映射 m |-> m + N 是一個滿的 R-模同態 M -> M/N，其核恰好是 N。

商模是每個短正合序列的右端，也是同構定理的引擎：若 f : M -> M' 是同態，則 M/ker(f) 同構於 f 的像。過渡到商是在保持模結構的同時消去多餘元素的標準方法——例如 M/(零化部分) 或 M/(撓) 能分離出更乾淨的片段。