同構定理

當你用同態壓縮一個代數對象的一部分時，被抹去的部分（核）與被保留的部分（像）緊密相連。同構定理就是一再告訴你「源對象模去被抹去的東西等於像」的精確規則。它們是商對象的基本語法。

共有三條，此處對群陳述（對模、環等有類比）。第一：若 f : G -> H 是同態，則 G / ker(f) 同構於 im(f)。第二（菱形定理）：對 G 的子群 A 與正規子群 N，AN/N 同構於 A/(A ∩ N)。第三（對應/商定理）：對 G 的正規子群 N ⊆ M，(G/N)/(M/N) 同構於 G/M，且包含 N 的 G 的子群與 G/N 的子群之間存在保持包含關係的雙射。

這些定理讓你無需親手構造便能與商對象計算：要辨認 G/N，只需找一個以 N 為核的從 G 出發的同態，再讀出其像。它們與其說深刻，不如說基礎——從約當-赫爾德定理到模理論，幾乎每個後續結構論證都是它們的有組織的應用。一個誠實的提醒在於記帳：第二與第三定理要求所涉子群在陳述處確為正規，忘記這點是常見錯誤之源。