同餘關係

同餘是一種「尊重」運算的等價關係，使你可以安心地用類、而非個別元素來運算。腦中要記的樣板是模 n 的算術：若 a ≡ a' 且 b ≡ b'（模 n），則 a + b ≡ a' + b'、a·b ≡ a'·b'，於是加法與乘法可下降到剩餘類。同餘正是把這種「與運算的相容性」推廣到任意代數。

嚴格地說，Σ-代數 A 上的同餘是 A 上一個與每個運算相容的等價關係 θ：對每個元數為 n 的 f，只要 a_i θ b_i（i = 1, ..., n），就有 f^A(a_1, ..., a_n) θ f^A(b_1, ..., b_n)。等價地，把 θ 看作 A × A 的子集，它是積代數 A × A 的一個同時又是等價關係的子代數。同餘正是使商成為可能者：唯當關係相容時，類上的誘導運算才良定。

同餘對一般代數所起的作用，恰如正規子群之於群、理想之於環——事實上群的同餘與其正規子群一一對應，環的同餘與其（雙邊）理想一一對應。A 上全體同餘的集合 Con(A) 按包含排序是一個完備格（同餘格），其形態——分配、模、單——蘊含著關於 A 的深刻結構資訊。