完備格

完備格把格的想法從「對」加強到任意族：不僅任意兩元素有 meet 與 join，而且每個子集——哪怕無窮——都有最大下界與最小上界。正是這種完備性讓你能自由地取上確界與下確界，這是貫穿數學的不動點定理與各種閉包構造背後的技術支柱。

嚴格地說，偏序集 (L, ≤) 是完備格，若 L 的每個子集 S 在 L 中都有下確界（meet）⋀S 與上確界（join）⋁S。取 S 為空與 S = L 即知，完備格自動有最小元 0 = ⋁∅ = ⋀L 與最大元 1 = ⋀∅ = ⋁L。一個有用的省力之處：只需所有子集都有 meet（或對偶地都有 join）即可，因為 join 可經 ⋁S = ⋀{S 的上界} 由 meet 重建。

完備格作為「子結構之格」無處不在：群的子群、向量空間的子空間、環的理想、任何代數的同餘、拓撲空間的閉集，以及集上的閉包算子都構成完備格。克納斯特–塔爾斯基定理使它們在邏輯與計算機科學中不可或缺：完備格上每個單調映射的不動點都構成一個完備格，故有最小與最大不動點——這是歸納與餘歸納定義的基礎。