布林代數

布林代數是「真與假」的代數，或等價地是「集合及其補」的代數。它刻畫了邏輯聯結詞 AND、OR、NOT 所遵守的律，也同樣刻畫了子集的交、並與補所遵守的律——結果表明這恰是同一套律。它是命題邏輯、數位電路與機率中事件代數的數學核心。

嚴格地說，布林代數是有補的分配格：一個有界分配格 (L, ∧, ∨, 0, 1)，其中每個元素 a 有補 ¬a，滿足 a ∧ ¬a = 0 與 a ∨ ¬a = 1。等價地，它是帶運算 (∧, ∨, ¬, 0, 1)、滿足布林恆等式（含德摩根律 ¬(a ∧ b) = ¬a ∨ ¬b）的代數。在分配格中補一旦存在便唯一，故 ¬ 是名副其實的運算，布林代數構成一個簇。

斯通表示定理給出了決定性圖景：每個布林代數都同構於一個集域——某冪集在 ∩、∪、補下的子代數——並且同構於某緊緻全不連通（斯通）空間的既開又閉集之代數。兩元素布林代數 {0, 1} 是基本磚塊：一條恆等式在所有布林代數中成立，當且僅當它在 {0, 1} 中成立，這正是真值表能判定命題有效性的緣由。