偏序集

偏序集刻畫了「有些東西先於另一些，但並非一切都可比」的想法。整數間的整除是一幅完美的圖景：2 整除 6、3 整除 6，但 2 與 3 不可比——彼此互不整除。「偏」字正是要害：不同於數軸上任意兩數皆可排序，這裡某些對乾脆不被排序。

嚴格地說，偏序集（poset）是一對 (P, ≤)，其中 ≤ 是 P 上一個自反（a ≤ a）、反對稱（a ≤ b 且 b ≤ a 蘊含 a = b）、傳遞（a ≤ b 且 b ≤ c 蘊含 a ≤ c）的二元關係。元素 a、b 可比，若 a ≤ b 或 b ≤ a；若每對皆可比，則該序為全序（一條鏈）。兩元素及類似格局引出下確界（meet）、上確界（join）、界、極大元與最小元等概念。

偏序集是極廣泛數學的背景舞臺：按包含排序的集之子集、群的子群、環的理想、拓撲空間的開集、命題間的邏輯蘊含都是偏序集。當下確界與上確界總存在時它們便成為格，而序論詞彙——上界、上確界、單調映射、伽羅瓦聯絡——在代數、拓撲與邏輯中同樣地組織著結構。