子代數

子代數是一個代數中自給自足的一塊：你在其內施加運算，永遠不會跑出去。正如子群是對群乘法與逆封閉的子集、子環對加法與乘法封閉，子代數是對母代數每個運算封閉的子集——一個按同樣規則運轉的更小世界。

嚴格地說，設 A 為 Σ-代數。A 的非空子集 B 是子代數，若對每個元數為 n 的運算符號 f 及一切 b_1, ..., b_n 屬於 B，元素 f^A(b_1, ..., b_n) 仍落在 B 中；特別地 B 須含每個常量。於是 B 連同限制運算本身就是一個 Σ-代數，且包含映射 B -> A 是同態。由子集 X 生成的子代數是含 X 的最小子代數，等價地即以 X 中元素為自變量的全體項之值的集合。

一個微妙卻重要之處：封閉性須針對簽名中真正具有的運算來檢驗。群中對乘法封閉但對逆不封閉的子集是子半群、而非子群——故某物是否為子代數取決於你聲明了哪些運算。固定代數的全體子代數按包含排序構成一個完備格，是把泛代數與格論相聯繫的基本例子。