代數結構

可以把代數結構想成一堆物件，外加一份固定的「組合方式清單」，而每種組合都遵守若干寫明的規則。群、環、向量空間、格——表面上千差萬別，但每一個都不過是「一個集合 + 若干運算 + 若干公理」。泛代數正是退後一步、把它們統統放在一起研究的學科，追問哪些定理其實只是關於「群」的，哪些則是關於「任何帶滿足等式之運算的集合」的。

嚴格地說，一個代數結構（簡稱一個代數）是一個序對 (A, F)，其中 A 是稱為載體（或底集）的集合，F 是 A 上一族有限元運算，即對各非負整數 n 而言的函數 f: A^n -> A，n 稱為該運算的元數（arity）。零元運算（n = 0）只是挑出一個特定元素，如群的單位元。運算符號連同其元數的清單稱為簽名；運算須滿足的等式或其他公式稱為公理。

關鍵在於，純泛代數中沒有關係符號、也沒有偏運算：一切都是處處有定義的全運算。例如體在這裡就顯得彆扭，因為求逆在 0 處無定義，所以體類並非簇（variety）。這種收窄是換取一般性的代價：堅持全運算與等式公理，便能得到橫跨群、環、格、布林代數等的、統一成立的結構性大定理（同態定理、伯克霍夫定理）。