自由群

自由群是沒有意外的群——只服從每個群都必須服從的規則。取一些字母；用它們及其逆建構所有可能的字串；唯一允許的化簡是把緊鄰自身逆的字母相消。除此之外沒有任何東西等於單位元。它是其生成元上最『無約束』的群，該些生成元上的任何其他群都是它的商。

形式上，集合 S 上的自由群 F(S) 是 S 與 S^(-1) 上約化字（不含相鄰對 xx^(-1) 或 x^(-1)x 的字）的集合，運算為拼接後再作自由約化。其定義性的泛性質是：從 S 到任意群 G 的任何函數都唯一地延拓為同態 F(S) 到 G。S 的基數是秩，是同構不變量；秩 1 的 F 就是 Z，而秩至少為 2 時非阿貝爾。無關係的表現 ⟨ S | ⟩ 恰是 F(S)。

自由群是組合群論的基石：每個群都是某自由群的商（只需把生成集映到自身），這正是表現所表達的內容。從幾何上看，自由群關於自由基的凱萊圖是一棵樹，無限且正則，沒有迴路——這是其負曲率行為、指數增長，以及它們能自由作用於樹的根源。