群表現（生成元與關係）

可以把建構一個群想像成用原料加一張規則清單。原料是一組生成元——你可以任意地把這些符號相乘、取逆，得到所有約化字。規則就是關係：你規定成立的等式，例如『r 等於單位元』。表現正是這套記帳方式：列出生成元，列出關係，而群就是這些字在『僅受這些關係和群公理約束、別無其他』之下所能建構出的一切。

形式上，表現 ⟨ S | R ⟩ 表示商群 F(S) / N，其中 F(S) 是生成集 S 上的自由群，N 是關係子集合 R 的正規閉包（包含 R 的最小正規子群）。當群 G 同構於此商群時，稱 G 由 ⟨ S | R ⟩ 給出表現。若 S 與 R 都有限，則稱該表現有限；具有有限表現的群稱為有限表現群，這比有限生成是嚴格更強的條件。

表現靈活卻暗藏陷阱。同一個群有無窮多個表現，兩個看上去截然不同的表現卻可能定義同構的群——事實上，判定兩個有限表現是否給出同構群（同構問題）在一般情形下是演算法不可解的，判定給定字是否等於單位元（字問題）亦然。所以表現是一種緊湊的描述，而非透明的描述：它指定一個群，卻並不因此就揭示該群的性質。