凱萊圖

凱萊圖把一個群變成你可以四處走動的場所。為群的每個元素畫一個點。選一組『走法』，即生成元；從每個點出發，向這一走法把你帶到的位置畫一條箭頭。結果是一幅道路與城市的圖景：城市是群元素，道路是生成元，生成元的任何乘積都是一條路線。群的代數化為這張網路的幾何。

精確地說，給定群 G 與生成集 S，凱萊圖 Cay(G, S) 以 G 為頂點集，對每個 g 屬於 G 與 s 屬於 S，從 g 到 gs 連一條邊。當 S 對稱（關於取逆封閉）時，通常將其視為無向圖，並常用生成元給邊標號。G 對自身的左乘作用化為圖自同構作用，因而從每個頂點看圖都一樣：凱萊圖是頂點可遷的。

這幅圖依賴於所選生成集——不同的 S 給出外形不同的圖——但對有限生成群而言，其大尺度形狀在擬等距意義下與該選擇無關。這正是幾何群論的基石：群的性質（增長、端、雙曲性、可均性）化為凱萊圖中在更換生成元後仍保留的幾何特徵。