字度量

一旦你能藉助凱萊圖在群中走動，你就能度量距離：從一個元素走到另一個元素需要多少步？字度量正好回答這一點。從單位元到元素 g 的距離，是把 g 拼寫出來所需相乘的最少生成元（及逆）個數——即它的字長。g 與 h 之間的距離是 g^(-1)h 的字長，也就是從 g 到 h 的最短路線。

固定群 G 與對稱生成集 S。字長 |g|_S 是使 g = s_1 s_2 … s_n（每個 s_i 屬於 S）成立的最小 n，且 |1|_S = 0。於是 d_S(g, h) = |g^(-1)h|_S 在 G 上定義了一個真正的度量——對稱、滿足三角不等式、僅在相等元素上為零。當給凱萊圖 Cay(G, S) 的每條邊賦長度 1 時，它恰是該圖的路徑度量，並且是左不變的：d_S(xg, xh) = d_S(g, h)。

不同生成集給出不同的字度量，但對有限生成群而言，任意兩者都是雙 Lipschitz 等價的：存在常數 C 使得 (1/C)d_S ≤ d_T ≤ C d_S。所以儘管確切距離依賴約定，該度量在擬等距意義下是典範的，這正是 (G, d_S) 的粗幾何不變量是群本身真正不變量的原因。