雙曲群

在平直的平面上，三角形可以很胖；它的三邊向外彎出，中心遠離任何一邊。在負曲率的世界裡——想像一個馬鞍面，或雙曲平面——三角形總是瘦的：每條邊都緊貼另外兩條，整個三角形是『細瘦』的。雙曲群就是其凱萊圖行為如同那個負曲率世界的群：每個測地三角形都細瘦，而且是一致地，無論多大。

經 Gromov 精確化：測地度量空間稱為 δ-雙曲的，若存在常數 δ ≥ 0，使得在每個測地三角形中每條邊都落在另外兩條之並的 δ-鄰域內（細三角形條件）。有限生成群稱為雙曲群，若它的某個、等價地任意一個凱萊圖對某 δ 是 δ-雙曲的；這是擬等距不變量，故為群的性質而非所選生成元的性質。

雙曲群既豐富又行為優美。它們是有限表現的，字問題與共軛問題可解（字問題為線性時間、自動的），滿足線性等周不等式——即線性 Dehn 函數，並服從 Tits 擇一性：每個子群要麼幾乎循環，要麼含有秩 2 的自由群。例子包括所有有限群、自由群、虧格至少為 2 的曲面群，以及閉負曲率流形的基本群；在精確的概率意義下，一個『隨機』的有限表現群是雙曲的。