群的端

在群的凱萊圖中走向無窮並問：你能朝多少種本質不同的方向逃逸？在直線上你可以走兩個方向，左或右——兩個端。在平面網格上所有遙遠的區域都從外側連通——只有一個端。端數所計的，是在刪去任一巨大但有限的部分後、看剩下什麼時，仍存在的通往無窮的連通『道路』數目。

精確地說，有限生成群 G 的端數，是對其凱萊圖所有有限子集 K，取 K 的補集中無限連通分支數目的上確界——這一量與生成集無關，且在擬等距下不變。Hopf 的一個卓越定理（經 Freudenthal 細化）表明答案總是 0、1、2 或無窮：沒有群恰有三個端。

每個取值都有結構含義。零端意味著群有限。兩端意味著群幾乎為無限循環（幾乎為 Z）。無窮多個端，由斯托林斯著名的分裂定理，意味著該群沿某個有限子群非平凡地分裂為合併自由積或 HNN 擴張——幾何迫使代數分解。單端是一般的、『在無窮處連通』的情形，包括 Z^2、曲面群以及人們遇到的大多數群。