擬等距

設想從很遠處看兩幅地圖，或戴上一副會忽略某固定尺度以下細節的模糊眼鏡。一個街區與多出幾條小巷的同一街區，從軌道上看完全一樣；精確到一公尺的差別看不見。擬等距把『大尺度上是同一形狀』形式化：它是度量空間之間的映射，可以拉伸、壓縮、抖動距離，但只允許差一個有界的線性因子加上一個有界的加性誤差。

從度量空間 X 到度量空間 Y 的映射 f 稱為 (K, C)-擬等距嵌入，若對所有點 x, x' 有 (1/K)d(x, x') − C ≤ d(f(x), f(x')) ≤ K d(x, x') + C。若此外其像還是 C-稠密的（Y 中每點都在某個 f(x) 的 C 範圍內），則 f 稱為擬等距。擬等距是度量空間上的一種等價關係，比雙 Lipschitz 更粗（它容許加性誤差，且粗化後無需連續、甚至無需逐點良定義）。

Schwarz 與 Milnor 的關鍵定理指出：若群 G 在一個真測地度量空間 X 上以等距、真不連續且餘緊的方式作用，則 G 配以任意字度量都與 X 擬等距。因此每個有限生成群都有良定義的擬等距型，而擬等距不變量——增長、端、雙曲性、有限可表現性、幾乎冪零性——都是群的真正不變量。幾何群論在很大程度上就是在擬等距意義下研究群。