冪零群

冪零群是一種以受控的分層方式「幾乎交換」的群：若反覆把中心折疊進去，它不交換的程度便會消散。每次相對整個群對換位子取商，群都會變簡單，而對冪零群，這一過程在有限步內到達平凡群。

形式地，G 的下中心列由 γ_1 = G、γ_{i+1} = [G, γ_i] 定義，後者是由群元素與 γ_i 中元素的所有換位子生成的子群。若對某個 c 有 γ_{c+1} = 1，則稱群冪零；最小的這種 c 是它的冪零類。等價地，上中心列 1 ⊴ Z(G) ⊴ Z_2(G) ⊴ ...（每步取商群中心的原像）在有限步內到達整個 G。

冪零嚴格地介於交換與可解之間：每個交換群都是類 ≤ 1 的冪零群，每個冪零群都可解，但兩個逆命題都不成立。對有限群，冪零有一個乾淨的刻畫——有限群冪零當且僅當它是其西羅子群的直積，等價地當且僅當每個西羅子群都正規。這正是有限 p-群成為冪零群原型的原因。