冪零李代數

有些李代數幾乎是阿貝爾的：括號並不為零，但若你不斷重複作括號，結果會在有限步內逐漸縮向零。冪零李代數就是這樣一種：反覆作括號的效果如此微弱，以至於最終徹底消失。原型是嚴格上三角矩陣，把足夠多個它們相乘總會得到零。

定義 L 的下中心列：L^1 = L，L^{k+1} = [L, L^k]；每一項都是含下一項的理想。若這條下降鏈到達零，即對某個 c 有 L^{c+1} = 0，則稱 L 為冪零的，最小的這樣的 c 稱為冪零類。等價地，任何長度為 c+1 的迭代括號都為零：對一切取法 [x_0, [x_1, [..., x_c]...]] = 0。

冪零蘊含可解，但反之不然——可解只要求導出列趨於零，那是更弱的下降。恩格爾定理給出可操作的判別法：L 冪零當且僅當對每個 x 屬於 L，ad(x) 都是冪零算子。非零冪零李代數的中心總是非零的，這與冪零群的同一事實相呼應。