李代數
伴隨表示
李代數總帶有一個僅由自身括號造出的標準表示：讓每個元素透過與之作括號而作用於整個代數。這種自作用，即伴隨表示，是代數「審視自身」的方式，也是定義冪零性、基靈型、根空間等結構概念所用的透鏡。括號同時既是乘法，又是代數作用於自身的方式。
定義 ad : L -> gl(L)，ad(x)(y) = [x, y]。雅可比恆等式恰恰就是「ad 是李代數同態」這一陳述：ad([x, y]) = ad(x)ad(y) - ad(y)ad(x) = [ad(x), ad(y)]。所以 L 作用在向量空間 L 自身上，而對每個 x，ad(x) 都是該空間上的一個線性算子（事實上是一個導子）。
ad 的核是中心 Z(L)——那些與一切元素作括號都為零的元素——因此對中心平凡的李代數，ad 把 L 忠實地嵌入 gl(L) 成為矩陣。對半單李代數，中心為零，伴隨表示是忠實的；而且半單李代數的每個導子都是內導子，即形如 ad(x)。
對 sl(2)，取基 (h, e, f)，ad(h) 對角作用，在 h, e, f 上的特徵值分別為 0, 2, -2，因為 [h, h] = 0，[h, e] = 2e，[h, f] = -2f。所以作為 3x3 矩陣 ad(h) = [0, 0, 0; 0, 2, 0; 0, 0, -2]。
sl(2) 上的 ad(h)：一個對角算子，其特徵值 0, 2, -2 恰是根（及零）。
伴隨表示是李群透過共軛作用於自身的李代數影子；把 g x g^{-1} 在單位元處求導即得 ad(X)(Y) = [X, Y]。
另見