李代數
李括號
如果兩個運算可交換，先做哪個都得到同樣的結果，就沒有什麼可度量的了。李括號正是用來度量兩件事不可交換程度的工具。想像把一本書繞水平軸稍微轉一下、再繞豎直軸轉一下，與反過來先後操作相比：兩種最終朝向是不同的，而這個差異——在一階意義下——恰好由一個新元素刻畫，即這兩個旋轉的括號。
形式地，括號是雙線性、反對稱的映射 [ , ] : L x L -> L，它連同雅可比恆等式一起定義了李代數 L。反對稱性是說 [x, y] = -[y, x]，因此括號在相等的兩個變元上為零。當 L 嵌在結合代數 A 中時，標準的括號就是換位子 [x, y] = xy - yx；對矩陣而言即 XY - YX，它恰在 X 與 Y 可交換時為零。
當一個李代數的括號恆為零時，稱它為阿貝爾的——此時它只是一個沒有額外結構的向量空間，是某個交換群的線性影子。所以括號才是整套理論的全部內容：只知道向量空間什麼也得不到，知道了括號則知道一切。
在 sl(2) 中取基 e = [0, 1; 0, 0]，f = [0, 0; 1, 0]，h = [1, 0; 0, -1]，則括號為 [h, e] = 2e，[h, f] = -2f，[e, f] = h。驗證 [e, f] = ef - fe = [1, 0; 0, 0] - [0, 0; 0, 1] = h。
sl(2) 的三個定義括號，是整套理論的主力工具。
在微分幾何中，同一名稱用於向量場的括號 [X, Y]f = X(Yf) - Y(Xf)，它使流形上的向量場構成一個（無窮維）李代數。矩陣換位子是它的有限維特例。
又稱
另見