李代數

設想你有一個光滑的對稱變換群——比如球面的旋轉——而你想研究它時不是一下子把整體看完，而是只看單位元附近、動作極其微小的那一塊。把群在單位元處求導，就把彎曲的對稱空間「壓平」成一個向量空間，而兩個微小對稱變換不可交換的程度則保留下來，成為一個新的運算，叫做括號。李代數恰好就是這個線性化後的影子：一個向量空間，帶著剛好足夠的代數結構，記住原來的對稱變換是怎樣不可交換的。

精確地說，體 k 上的李代數是一個 k-向量空間 L，配備一個雙線性映射 [ , ] : L x L -> L，稱為括號，滿足兩條公理：它是交錯的，即對一切 x 有 [x, x] = 0（這迫使反對稱性 [x, y] = -[y, x]），並且滿足雅可比恆等式 [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0。注意這裡既不要求結合律，也不要求有乘法單位元；括號一般兩者都不滿足。

最具啟發性的例子是：任何結合代數 A 都可透過令 [x, y] = xy - yx（即換位子）變成李代數。特別地，n 階矩陣在換位子下構成李代數 gl(n, k)；其跡為零的部分是 sl(n, k)。在 R 或 C 上，每個有限維李代數都（經由李群對應）作為某個李群在單位元處的切空間出現，而括號記錄的正是群乘法的二階不可交換性。