李代數
雅可比恆等式
數的乘法是結合的——因子怎麼分組都無所謂。李括號不結合，所以我們需要一條替代的法則來維持結構的協調。雅可比恆等式就是這條法則：它精確地說明，與一個固定元素作括號的行為就像求導，服從萊布尼茲乘積法則。它是反對稱性所要付出的代價，也正是它使李代數表現良好而不致混亂。
該恆等式寫作：對一切 x, y, z 有 [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0——這是對三個元素的循環求和。等價地，令 ad(x)(y) = [x, y]，它說 ad(x)[y, z] = [ad(x)y, z] + [y, ad(x)z]；即每個 ad(x) 都是括號的導子。這是記住它最乾淨的方式：與 x 作括號尊重括號，正如 d/dt 尊重乘積。
對任何結合代數中的換位子 [x, y] = xy - yx，該恆等式自動成立——經一段簡短計算，六個三重乘積全部相消。所以結合乘法暗中已經包含了雅可比恆等式，這正是為什麼每個結合代數在換位子下都給出一個李代數。
對 R^3 上的叉積，雅可比恆等式就是經典的向量恆等式 a x (b x c) + b x (c x a) + c x (a x b) = 0，等價於「bac 減 cab」法則 a x (b x c) = b(a . c) - c(a . b)。
向量三重積恆等式正是偽裝下的雅可比恆等式。
反對稱性加上雅可比恆等式就是全部定義；這裡沒有結合律可言。導子形式 ad(x)[y, z] = [ad(x)y, z] + [y, ad(x)z] 正是把李代數與伴隨表示聯繫起來的紐帶。
另見