泛包絡代數
李括號並不是結合乘法，但它非常想成為某個結合代數裡的換位子。泛包絡代數是滿足這一願望的最經濟的結合代數：它的構造使抽象括號 [x, y] 真正變成換位子 xy - yx，而且做得盡可能自由，除括號本身所要求的關係外不附加任何關係。它是把李理論翻譯成結合代數與模的語言的裝置。
具體地說，U(L) 是張量代數 T(L) 對由所有形如 x (tensor) y - y (tensor) x - [x, y] 的元素生成的雙邊理想取的商。它帶有一個李代數映射 i : L -> U(L)，並滿足泛性質：從 L 到任一結合代數 A（的換位子李代數）的任何李代數同態，都唯一地通過一個結合代數同態 U(L) -> A 分解。特別地，L 的表示恰好就是 U(L) 上的模。
龐加萊-伯克霍夫-維特（PBW）定理確定了 U(L) 的「大小」：若 x_1, ..., x_n 是 L 的一組有序基，則有序單項式 x_1^{a_1} ... x_n^{a_n} 構成 U(L) 的一組基。特別地，映射 i : L -> U(L) 是單射，所以 L 確實嵌入某個結合代數中，而即便 L 本身高度不可交換，U(L) 也大得像一個多項式環。
對 1 維阿貝爾李代數 L = span(x)，沒有非平凡括號，故 U(L) = k[x]，即單變量多項式環。對滿足 [x, y] = z（z 在中心）的海森堡代數，U(L) 是一個類外爾代數的環，其中 xy - yx = z 作為真正的恆等式成立。
阿貝爾 L 的 U(L) 是多項式環；海森堡代數的 U(L) 則是外爾代數的近親。
當 L 阿貝爾時，關係 x (tensor) y - y (tensor) x - 0 僅強加可交換性，故 U(L) 就是 L 上的多項式環（對稱代數）。PBW 表明，一般而言 U(L) 作為向量空間並不比這個可交換的影子更大。