結構常數

一旦給李代數選定一組基，括號就完全由它在基向量兩兩之間的作用所決定——其餘的一切都由雙線性自動推出。結構常數不過是記錄這些基向量括號的「帳本數字」。它們把抽象的括號變成一張具體的係數表，讓你可以手算，或交給電腦處理。

固定 L 的一組基 e_1, ..., e_n。由於 [e_i, e_j] 仍是 L 中的元素，我們可把它按基展開：[e_i, e_j] = 對 k 求和 c_{ij}^k e_k。這些位於體中的標量 c_{ij}^k 就是結構常數。括號的反對稱性迫使 c_{ij}^k = -c_{ji}^k，而雅可比恆等式則對它們施加一個二次約束：對一切 i, j, l，c_{ij}^m c_{ml}^k 關於 m 的循環求和為零。

結構常數依賴於所選的基——換基會按相應的張量法則變換它們——所以它們不是內蘊不變量。但兩個李代數同構，當且僅當某種選基方式能使它們的結構常數重合，所以這些常數確實承載了完整的同構類型。