卡當子代數

要理解一個複雜的線性算子，就把它對角化；要理解整個半單李代數，就找出一組可以同時對角化的、極大的元素。卡當子代數正是這樣一塊極大的、彼此可同時對角化的阿貝爾部分——代數的「座標軸」。把代數的其餘部分按這個子代數分解成特徵子空間，正是產生根系、並解鎖整個分類的關鍵。

抽象地說，有限維李代數 L 的卡當子代數是一個冪零子代數 H，它等於自己的正規化子：N_L(H) = H。對特徵零的代數閉體上的半單李代數，這簡化為具體圖景：H 是一個極大阿貝爾子代數，其全部元素在伴隨表示下都可對角化（即半單）。這樣的 H 總是存在，且彼此共軛，因此它們的公共維數——L 的秩——是一個不變量。

給定 H，伴隨作用把 L 分解為同時特徵子空間：L = H (+) (對 alpha 求和 L_alpha)，其中每個在此出現的、H 上的非零線性泛函 alpha 稱為根，L_alpha 是它的根空間。這個卡當分解是結構理論的引擎：這些根構成一個根系，而關於 L 的幾乎一切都編碼在那個有限的向量集合裡。