根系

當你把一個半單李代數對著卡當子代數對角化時，那些非對角的方向會自行排列成歐氏空間中一組有限的向量星座——根。值得注意的是，這些向量構成一個剛性而高度對稱的圖樣：把任一根關於垂直於另一根的超平面作反射，你又會落回到某個根上。根系把這一切剛性提煉成純粹的組合幾何，與產生它的李代數脫鉤。

抽象地說，根系是張成歐氏空間 V 的一組有限的非零向量集 R，滿足：（1）對每個根 alpha，R 中 alpha 的倍數只有 alpha 與 -alpha；（2）關於垂直於 alpha 的超平面的反射 s_alpha 置換 R；（3）整性條件成立，即對一切根 alpha, beta，2(alpha . beta)/(beta . beta) 是整數。這些反射生成有限的外爾群。

選定一組正根就挑出一組單根的基；於是每個根都是單根的整係數組合，且係數同號。整性條件嚴重限制了單根之間可能的夾角（只能出現 90、120、135、150 度），正是這一點使不可約根系可被分類：它們落入四個無窮族 A_n, B_n, C_n, D_n 與五個例外型 G_2, F_4, E_6, E_7, E_8。