李代數
半單李代數
如果可解代數是鬆軟的、由阿貝爾層搭起來的，那麼半單代數就是它們剛硬的對立面——它們裡面完全沒有可解的「腐爛」。它們是最乾淨、最對稱的李代數，由不可再分的單塊拼成，並且正是那些有限維表示表現得盡可能好的代數。經典矩陣代數 sl(n)、so(n)、sp(2n) 就是首要例子。
特徵零的體上一個有限維李代數 L，若其根基（最大可解理想）為零，則稱為半單的；等價地，L 沒有非零阿貝爾理想。決定性的結構定理說，半單的 L 是若干單理想的直和 L = L_1 (+) ... (+) L_r，這是李代數意義下的直和，且當 i 不等於 j 時 [L_i, L_j] = 0。所以半單不過就是有限個單代數的直和。
半單性有一個漂亮的可操作判別（卡當判別法）：L 半單當且僅當其基靈型非退化。在特徵零的代數閉體上，外爾完全可約定理成立——每個有限維表示都分解為不可約表示的直和——而那些單的直和項則由鄧金圖完全分類。
sl(2, C) 是單的，故半單；sl(2, C) (+) sl(2, C) 半單但不單。相比之下 gl(n, C) = sl(n, C) (+) (中心) 不半單，因為它的 1 維中心是一個非零阿貝爾理想。
單是單獨一塊；半單是若干塊的直和；gl(n) 還帶著多餘的阿貝爾「包袱」。
每個半單李代數都等於自身的導出代數 [L, L] = L，這與可解（其迭代導出代數最終消失）截然相反。約化代數是一個半單部分與一個阿貝爾中心的直和；gl(n) 是約化的但不半單。
另見