李代數
可解李代數
當一個李代數的不可交換性能夠分階段地被「解開」時，它就是可解的：先取一切元素的括號，再取這些括號的括號，如此下去，最終到達零。這個名字呼應了伽羅瓦理論中的可解群，並非偶然——李代數的可解性正是「由阿貝爾層逐級搭建」這一性質的無窮小版本，也正是用根式解多項式背後的那個性質。
定義導出列：L^{(0)} = L，L^{(k+1)} = [L^{(k)}, L^{(k)}]。每一項都是 L 的理想（實際上是前一項中的理想）。若對某個 m 有 L^{(m)} = 0，則稱 L 可解。等價地，L 有一條有限的子代數鏈 L = L_0 > L_1 > ... > L_m = 0，其中每個 L_{i+1} 是 L_i 的理想且商為阿貝爾的。
每個冪零李代數都可解；反之不成立。在特徵零的代數閉體上，李定理說明可解的矩陣代數可被同時化為上三角形，因此上三角矩陣就是普適的例子。還存在一個最大的可解理想，稱為根基，其商是半單的——這就是萊維分解。
二維非阿貝爾李代數，取基 x, y，括號 [x, y] = y，滿足 L^{(1)} = [L, L] = span(y)，L^{(2)} = 0。它可解但不冪零，因為 ad(x) 在 y 上作為恆等映射，故並不冪零。
唯一的二維非阿貝爾李代數：可解但不冪零。
卡當可解性判別法給出一個乾淨的跡檢驗：一個矩陣李代數可解，當且僅當對每個 x 屬於 [L, L] 與每個 y 屬於 L，都有 trace(xy) = 0。
另見