李代數
李代數的理想
在環論中，理想是你可以用來取商的子對象；它們具有吸收性，會把與環中任何元素的乘積都吞進去。李代數有同樣的概念，理由也相同：理想就是那種允許你「塌縮為一點」的子代數，從而產生一個新的、更小的李代數。正是它讓同構定理得以運轉。
李代數 L 的理想是一個子空間 I，使得只要 x 屬於 L、y 屬於 I，就有 [x, y] 屬於 I——簡記為 [L, I] 含於 I。由於括號反對稱，左理想與右理想沒有區別；每個理想自動是雙邊的。每個理想都是子代數，但反之不然。
理想的意義在於取商：若 I 是理想，則商向量空間 L/I 繼承一個良定義的括號 [x + I, y + I] = [x, y] + I，使之成為李代數，而投影 L -> L/I 是核為 I 的李代數同態。反過來，任何李代數同態的核都是理想。重要的例子有：中心、導出代數 [L, L]，以及導出列與下中心列的各項。
在 gl(n) 中，數量矩陣 c.I 構成一個 1 維理想（即中心），而 sl(n)——跡為零的矩陣——是餘維 1 的理想，因為 trace([X, Y]) = 0 總把換位子放進 sl(n) 內。商 gl(n)/sl(n) 是 1 維阿貝爾李代數。
sl(n) 作為 gl(n) 中餘維 1 的理想，因為換位子都無跡。
單性、可解性與半單性都用理想來表述：單李代數是非阿貝爾且沒有非平凡非零理想的，而半單李代數則沒有非零可解理想。
又稱
另見