李子代數

在一個大的對稱代數內部，常常藏著一些更小的自足世界——一些無窮小對稱的集合，它們彼此封閉、永不逃逸出去。李子代數就是這樣一塊封閉的部分：一個子空間，在其中任取兩個成員作括號都不會帶你跑到它外面去。它是李理論中子群或子環的類比。

形式地，李代數 L 的子空間 M 若在括號下封閉，則稱為李子代數：只要 x, y 屬於 M，就有 [x, y] 屬於 M。由於括號在整個 L 上已經是雙線性、反對稱且滿足雅可比的，這些性質自動被繼承，所以 M 自身就是一個李代數。唯一需要驗證的就是封閉性。

子代數未必是理想：M 內部元素之間作括號封閉，比 [M, L] 含於 M 這一要求要弱。例如，跡為零的對角矩陣構成 sl(n) 的一個阿貝爾子代數（一個卡當子代數），但它不是理想——一個對角矩陣與一個非對角矩陣作括號會落到對角矩陣之外。