恩格爾定理

設想一個李代數的每個元素，當它透過作括號作用於該代數自身時，都是冪零算子——作用足夠多次就得到零。直覺上每個生成元都各自「軟弱」。恩格爾定理說，這種個體的軟弱會合謀成集體的軟弱：整個代數必定是冪零的。局部的冪零性迫使整體的冪零性。

對有限維李代數 L 來說：L 冪零當且僅當對每個 x 屬於 L，ad(x) 都是冪零自同態。困難的方向是「當」這一半。其背後的關鍵線性代數引理是：若 L 是非零有限維向量空間 V 上一族冪零算子構成的李代數，則存在一個被它們全部零化的非零向量 v，即 Lv = 0；反覆使用便得到一面旗，使每個算子都成為嚴格上三角的。

條件只關乎 ad-冪零性這一內蘊性質，卻推出一個表示論式的結論（公共特徵向量、同時嚴格三角化）。恩格爾定理是冪零情形的基石；李定理則是它在可解情形的伴侶，減弱了假設、也減弱了結論，並附加了特徵零的代數閉體條件。