增長率

兩個群也許都無界增長，但其中一個像擴張圓盤的面積那樣溫和地填滿，另一個卻像分叉的樹那樣每一步都翻倍。增長率為這種定性的節奏命名。它捨棄確切計數，只保留體制：半徑 n 的球是像 n 的多項式那樣增長，像指數那樣增長，還是嚴格介於兩者之間？

有限生成群稱為多項式增長，若 β(n) ≤ C n^d 對某常數 C, d 成立；稱為指數增長，若 β(n) ≥ a^n 對某 a > 1 成立（等價地，β(n)^(1/n) 的極限大於 1）；稱為中間增長，若它快於任何多項式卻慢於任何指數。這三類窮盡所有可能，且各自在擬等距下不變。指數增長率 lim β(n)^(1/n) 本身確實依賴於生成集，但它是否大於 1 則不依賴。

兩個深刻的定理為這一不變量定下框架。Gromov 定理（1981）指出：有限生成群是多項式增長若且唯若它幾乎冪零——這是從粗幾何到代數結構的驚人橋樑。而 Grigorchuk 群（1984）透過給出一個真正中間增長的群解決了 Milnor 的問題，因此這一三分法並非二分法：中間地帶確有居民。