增長函數

站在群的單位元處問：至多 n 步能到達多少個元素？走一步——數鄰居；走兩步——數能觸及的一切。這個隨半徑 n 變化的計數就是增長函數。它記錄群在你周圍『展開』得有多快：稀疏的群幾乎不增長，枝繁葉茂的自由群則爆炸式增長。

固定有限生成群 G 與有限對稱生成集 S。增長函數為 β_S(n) = |{ g 屬於 G : |g|_S ≤ n }|，即字度量中半徑 n 的閉球內元素個數。（有些作者採用球面計數變體，只數字長恰為 n 的元素。）此函數依賴於 S，但其漸近行為不依賴，這正是它作為不變量有用的原因。

稱兩個增長函數 f 與 g 等價，若各自都被另一個的線性重標度所控制：f(n) ≤ A g(Bn + C) + D，且對稱地成立。在此關係下，β_S 的等價類與生成集無關，且是擬等距不變量。這個等價類——群的增長型——正是在增長率條目中單獨刻畫的內容。