合併自由積

取兩個群，把它們黏起來——但只沿著一塊共有的部分。設想兩個各自獨立的世界，恰好都含有某個公共子群的相同副本；你把這些副本等同起來，其餘一切則自由混合。合併自由積就是包含二者的最經濟的群，它在公共部分上保持一致，對其餘部分之間不再強加任何巧合。

給定群 A、B 以及公共子群 C，連同單射 C 到 A 與 C 到 B，合併自由積 A *_C B 是普通自由積 A * B 對『將每個 c 屬於 C 的兩個像等同起來』這些關係的商。它正是群範疇中 A 與 B 沿 C 的推出，由泛性質刻畫：同態 A *_C B 到 G 對應於來自 A 與來自 B、且在 C 上一致的一對同態。

其結構由一條正規形定理（施賴埃爾）控制：為 C 在 A 與 B 中各選陪集代表，A *_C B 的每個元素都有唯一表達式：c 乘以來自 A 與 B 的非平凡代表的交錯乘積。一個關鍵推論是 A 與 B 都嵌入 A *_C B（這些映射是單射），所以合併積確實包含兩個因子。當 C 平凡時，這便回到普通自由積 A * B。